Mate IV

bloque 5

·                     teoremas del factor y residuo

·                     teoremas fundamental del algebra

·                     divicion sintetica

Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) = x² + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 2² + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes: f(x) = (x-2)(x+3) + 4Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 1² + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes: f(x) = (x-1)(x+2)Como se muestra, (x-1) es un factor.

1(x⁵ − 2x²− 3) : (x −1)

R(1) = 1⁵ − 2 · 1² − 3 = −4

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x +10 ) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)⁴ − 2 · (−2)³ + 3 · (−2)² + 5· (−2) + 10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:

teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³− 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x⁴− 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

·                     Toda Ecuación entera , tiene por lo menos una Raíz ( cero ) ya sea Real ó Compleja

·                     Una Ecuación entera  de Grado  tiene exactamente Raíces (ceros)

Multiplicidad: Si el factor  ocurre  veces, se dice que  es un Cero de Multiplicidad .

Polinomios Idénticos

Una forma en la que dos Polinomios  y  puedan tener los mismos valores para todo número Real  es que los Coeficientes de Potencias Semejantes sean Iguales.

Dadas las Raíces de un Polinomio encontrar el Polinomio

Si tenemos un Polinomio

y lo Factorizamos nos queda;

Ahora si se nos dan algunas Raíces de un Polinomio ,  y  encontrar el Polinomio:

Solución: se procederá en como el ejemplo anterior pero en Reversa





La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1.            Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2.            Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3.            Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4.            Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5.            Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6.            Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes

Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

bloque 6

aplicas funciones racionales

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

$y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$ funcion racional grado 2:
$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$ funcion de grado 3:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de

x que anulan el denominador.

función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

¿Qué pasa si los ceros del numerador y el denominador de la función racional son iguales?

Ejemplo
f (x) = (2x + 2) / (x + 1)
= 2 (x + 1) / (x + 1)
= 2, para x no es igual a -1.

Trace la gráfica de la función f(x)= (x²-5x+6)/(x³-9x).

Solución:

La forma factorizada es f(x)= (x-2)/[x(x+3)]. Dibujar Grafica Racional

La función tiene asintotas verticales en x=0 y x=-3y un hueco en x=3.

La asíntota horizontal es y =0 porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

La gráfica de la función corta la asíntota horizontalen x=2.

La intersección en el eje de x es (2,0) y el eje de yno se interseca.

La función es positiva en (-3,0)U(2,∞) y es negativaen (-∞,-3)U(0,2).

La grafica está a la derecha (verla en forma interactiva)

Determina el dominio de la función:

Solución:

El denominador es

que igualaremos a cero:

despejando a x obtenemos dos valores:

¿que significan estos valores?

Observa la gráfica:

Como obtendrías el dominio a partir de la gráfica?

El dominio son todos los reales excepto donde pierde continuidad la gráfica (o se corta la gráfica) en los valores x=2,-2. Que se escribe de la siguiente manera:

ASINTOTAS HORIZONTAL,OBLICUA,VERTICAL

Las funciones racionales tienen asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador.

*Si el grado numerador < grado denominador --> La asíntota es y=0
Por ejemplo f(x)= x/(x²+2x+3) A.H. y=0

*Si el grado numerador = grado denominador --> La asíntota será y= An/Bn =a/b que es la división de los coeficientes líderes (los que acompañan a la x elevada a la mayor potencia)
Por ejemplo: f(x)= (3x³+7x)/(1-x³) --> A.H. y= 3/(-1) --> y=-3